Présentation Guidée — Physique · TIPE 2026

Résonance et rotation dans le cerveau : pourquoi un choc à la tête est-il dangereux ?

Biomécanique de la commotion cérébrale —
un cerveau mou dans une boîte rigide.

Chaque année, la commotion liée au sport touche des millions de personnes — et pourtant on comprend encore mal, physiquement, comment le coup blesse. Notre point de départ : ce n'est pas l'impact qui abîme le cerveau, c'est son mouvement à l'intérieur du crâne.

1,6–3,8 M

commotions liées au sport / an aux États-Unis
(CDC, 2003)

0,1–10 kPa

module d'Young du cerveau : ~10⁷× plus mou que l'acier

Présentation Guidée · Thylane Sérié · Sarah Plotkine · Louna Bouflim — Lycée Saint Louis · 2026

Cerveau mou confiné dans le crâne rigide, frappé par un choc

Crâne rigide · liquide céphalo-rachidien · cerveau viscoélastique — un choc met le tissu confiné en mouvement, surtout en rotation.

choc→le cerveau bouge dans sa boîte→la rotation déforme le plus→un milieu mou amplifie→danger maximal

À dire On ouvre sur le chiffre humain avant toute équation : des millions de commotions par an, et un mécanisme mal expliqué. Puis notre vraie accroche : on a longtemps cru que c'était le choc direct qui blessait — mais le crâne protège bien ; ce qui blesse, c'est que le cerveau, très mou, bouge à l'intérieur quand la tête est secouée. Tout part de là : quel mouvement, à quel régime, déforme le plus ? Un ordre de grandeur qui surprend le jury : le cerveau a un module d'Young $E \sim 0{,}1$ à $10$ kPa — environ dix millions de fois plus mou que l'acier, autour de la gélatine ; c'est ce qui rend un substitut en gel crédible. Transition → Si c'est le mouvement interne qui blesse, la vraie question n'est pas « à quelle force ? » mais « à quel type de mouvement, à quelle fréquence ? »

02 Problématique · 7

Ce n'est pas l'impact qui blesse — c'est la vibration et la rotation

choc→le cerveau bouge dans sa boîte→la rotation déforme le plus→un milieu mou amplifie→danger maximal

« Existe-t-il, pour un modèle simplifié du cerveau, des sollicitations — une certaine rotation, une certaine fréquence — qui amplifient les déformations internes lors d'un choc ?

L'image physique qu'on défend

Le cerveau se comporte comme un milieu viscoélastique — ni tout à fait solide, ni tout à fait liquide — enfermé dans une cavité rigide, le crâne, et baignant dans le liquide céphalo-rachidien. Quand la tête est secouée, ce milieu mou subit des ondes et des vibrations internes. Deux choses décident de la gravité : le type de mouvement — la rotation déforme bien plus que la translation — et le régime — un milieu aussi mou a des sollicitations qu'il amplifie.

⚠︎ hypothèse à tester La valeur « ~30 Hz » circule dans les sources ; notre calcul d'ordre de grandeur donne plutôt ~10–30 Hz (diapo 7). On la présente comme une hypothèse à tester, pas un fait acquis.

À dire On part de l'image qu'on a construite : le cerveau est viscoélastique — ni tout à fait solide, ni tout à fait liquide — enfermé dans le crâne rigide et baignant dans le liquide céphalo-rachidien. Secoué, ce milieu mou subit ondes et vibrations. Deux choses décident de la gravité : le type de mouvement — et là, littérature et expérience pointent la rotation, bien plus déformante que la translation — et le régime : un milieu aussi mou amplifie certaines sollicitations. On présente le ~30 Hz parfois cité comme une hypothèse à tester, pas comme un fait ; notre estimation d'ordre de grandeur donne plutôt ~10–30 Hz selon $k$ et $m$ (diapo 7). Transition → Pour répondre, il faut d'abord les bons outils : comment décrit-on un matériau mou qu'on secoue ?

03 Notions scientifiques abordées · 7

Deux nombres commandent tout : la rigidité E et la viscosité μ

choc→le cerveau bouge dans sa boîte→la rotation déforme le plus→un milieu mou amplifie→danger maximal

Mécanique	translation / rotation, Newton, moment cinétique, couple
Milieux continus	contrainte $\sigma$, déformation $\varepsilon$, matériau mou
Viscoélasticité	un milieu qui flue et relaxe · $E,\ \mu,\ c$
Vibrations / ondes	oscillations amorties, fréquence propre, résonance
Fluides	interaction liquide / solide (LCR), loi de Stokes
Maths appl.	$x(t)$, dérivées, régression linéaire

Module d'Young — échelle log (Pa)

Cerveau, gélatine et agarose tombent dans le même domaine : un bon substitut.

Contrainte, déformation, rigidité

\[\sigma=\frac{F}{A},\qquad \varepsilon=\frac{\Delta h}{h_0},\qquad E=\frac{\sigma}{\varepsilon}\]

Le cœur du modèle — oscillateur amorti forcé

$m\,\ddot{x}+c\,\dot{x}+k\,x=F(t)$ $f_0=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

masse $m$ · raideur $k$ (la rigidité $E$) · amortissement $c$ (la viscosité $\mu$)

Tissu cérébral — valeurs publiées ⚠︎ unité à recontrôler

Matière blanche $E\approx 1{,}9$ kPa, ~39 % plus rigide que la matière grise ($E\approx 1{,}4$ kPa) — quasi-statique.
Modules dynamiques (20–650 Hz) : $k\sim 4000\text{–}6800$ N·m⁻¹, $\mu\sim 12{,}6\text{–}20$ Pa·s.

À dire Un matériau mou ne se résume pas à un seul nombre. Un solide a une rigidité $E$ ; un fluide a une viscosité $\mu$. Le cerveau a les deux à la fois : il se déforme comme un solide mais « coule » et « se détend » comme un fluide — c'est ça, viscoélastique. Deux nombres à mesurer, donc : $E$ et $\mu$. Le tableau montre pourquoi un gel est un bon substitut : le cerveau est si mou qu'une gélatine ou un gel d'agarose tombe dans le même domaine de rigidité. Des mesures publiées sur le tissu donnent $E$ de l'ordre du kilopascal ; une colonne d'un de nos PDF source semble en mauvaise unité, donc on cite l'ordre de grandeur (~kPa) et on vérifiera le chiffre exact avant de l'afficher. Transition → Ces deux nombres, $E$ et $\mu$, on a voulu les mesurer nous-mêmes — pas seulement les lire. Voilà comment.

04 Schéma de la manip · 7

Le protocole qu'on a conçu : trois matériaux, puis l'effet de la rotation

choc→le cerveau bouge dans sa boîte→la rotation déforme le plus→un milieu mou amplifie→danger maximal

Du plus simple au plus proche du cerveau protocole envisagé

Matériau	Représente	On mesure
Fluide newtonien glycérine / sirop	la viscosité pure (étalon)	$\mu$ — chute de bille (Stokes)
Fluide complexe slime	flue et résiste	viscoélasticité, $\tau$
Gel « cerveau » agarose / gélatine	notre cerveau modèle	$E$ — compression · $\mu$ — chute de bille

Le modèle qui interprète tout : oscillateur amorti

$E\to k$, $\mu\to c$, masse de gel $\to m$ — l'oscillateur explique le pic sans refaire la simulation.

Le gel-cerveau dans une boîte rigide : translation vs rotation montage conçu

On cite les grandes simulations éléments finis (DHIM, SIMon) dont la conclusion va dans notre sens — rotation > translation. Le montage qu'on prévoyait : gyroscope Phyphox pour $\dot\omega$, tracking vidéo pour la déformation. ⚠︎ seul le gel a été tenté ; il s'est effondré (diapo 5).

À dire On n'a pas refait la grosse simulation par ordinateur — on la cite. Voilà le protocole qu'on a conçu (on dit franchement ce qu'on a pu tenter à la fin). La logique des trois matériaux : on commencerait par un fluide newtonien, dont la seule grandeur est $\mu$, qu'on obtient en chronométrant la chute d'une bille (Stokes) — notre étalon. Ensuite le slime, qui montre qu'un même matériau peut couler lentement et résister vite : le pont vers le viscoélastique. Enfin le gel-cerveau, sur lequel on mesurerait $E$ par compression et $\mu$ par chute de bille. Une fois le gel caractérisé, on le mettrait dans une boîte rigide pleine d'eau — le crâne et le LCR — pour comparer deux gestes : une translation pure et une rotation, filmées au ralenti, gyroscope Phyphox scotché sur la boîte pour l'accélération angulaire. Et on est honnêtes : de tout ce montage, on n'a tenté que le gel — et il s'est effondré. La diapo suivante raconte cet échec et ce qu'il nous a appris. Transition → Sur le papier c'est net. En vrai, notre premier modèle s'est littéralement effondré — et ça nous a appris l'essentiel.

05 Problèmes rencontrés · 7

Notre premier modèle s'est effondré — et ce qu'il nous a appris

choc→le cerveau bouge dans sa boîte→la rotation déforme le plus→un milieu mou amplifie→danger maximal

Notre vrai échec de départ

On a d'abord voulu fabriquer un cerveau en 3D avec de la gélatine alimentaire. En 3D, c'était très difficile : la gélatine n'a pas tenu sa forme et s'est complètement effondrée. La cause, comprise après coup : on avait construit le modèle avant d'avoir mesuré les propriétés de la matière ($E$, $\mu$) — donc rien n'était maîtrisé. C'est exactement ce que notre professeure nous avait dit : caractériser la matière avant de modéliser.

Suivre la déformation d'un gel transparent : nos traceurs sont bruités sur la vidéo.

Viscoélasticité : le module dépend de la vitesse de sollicitation → mesurer vite et lentement.

Loi de Stokes valable seulement à petit Reynolds, et sensible à la T°, aux parois, aux bulles.

Reproduire le gel : passer de 0,5 % à 1 % d'agarose change $E$ d'un facteur ~2.

Imposer une rotation propre et répétable, et la distinguer d'une translation parasite.

Condition de validité de Stokes

\[Re=\frac{2\,\rho_f\,r\,v}{\mu}<1\]

la viscosité par chute de bille n'est juste que pour un nombre de Reynolds petit.

Chute de bille — les pièges

À dire On commence par notre vrai échec, parce qu'il est instructif. On a d'abord voulu faire un cerveau en 3D avec de la gélatine alimentaire : en 3D elle ne tient pas sa forme, et notre modèle s'est complètement effondré. En y réfléchissant, on a compris pourquoi : on l'avait fabriqué sans avoir d'abord mesuré les propriétés de la matière — rigidité, viscosité. Sans ces nombres, impossible de le maîtriser. C'est exactement ce que notre professeure nous avait dit : caractériser la matière avant de modéliser. Au-delà de ça, mesurer la déformation reste dur : le gel est transparent (on met des billes, mais le suivi vidéo bruite) ; la viscoélasticité oblige à mesurer à deux vitesses ; la loi de Stokes ne marche qu'à petit Reynolds et loin des parois ; un demi-pour-cent d'agarose en plus double presque la rigidité ; et imposer une rotation propre et répétable, c'est le point que la prof elle-même a signalé comme difficile. Si une mesure n'a pas pu être faite à temps, on le dit franchement — c'est plus solide qu'une fausse complétude. Transition → À chacun de ces obstacles, on a trouvé une parade concrète.

06 Solutions apportées · 7

Mesurer la matière d'abord, modéliser ensuite

choc→le cerveau bouge dans sa boîte→la rotation déforme le plus→un milieu mou amplifie→danger maximal

La leçon de l'effondrement, en deux gestes la démarche qu'on propose

Caractériser la matière d'abord — mesurer $E$ et $\mu$ de nos trois matériaux avant de refabriquer le cerveau (ce que la prof nous a conseillé). Et simplifier la géométrie — abandonner le 3D fragile pour une surface 2D ou un volume plus petit et plus plat, qui tient et qu'on peut filmer proprement. Ce sont les corrections qu'on tire de l'échec, pas des mesures déjà faites.

Tracking vidéo slow-motion + traitement Python — pour quantifier la déformation malgré le gel transparent.

Double mesure rapide + lente — fluage & relaxation $\sigma(t)=\sigma_0\,e^{-t/\tau}$, $\tau$ = temps de relaxation.

Calibration — compression → $E=\sigma/\varepsilon$ (pente initiale) ; chute de bille → $\mu$, à T° contrôlée.

Mécaniser le lâcher de rotation — un axe et un angle imposés, répétés, filmés au ralenti, pour comparer proprement à la translation.

Modèle réduit masse–ressort–amortisseur pour lire le pic d'amplification sans refaire la simulation.

Viscosité par chute de bille

\[\mu=\frac{2\,r^{2}\,(\rho_b-\rho_f)\,g}{9\,v}\]

Relaxation des contraintes $\sigma(t)=\sigma_0\,e^{-t/\tau}$

La contrainte qui retombe exponentiellement donne le temps caractéristique $\tau$ — donc l'amortissement $c$.

À dire Important : cette diapo dit ce qu'on ferait, les corrections qu'on tire de l'échec — pas des mesures qu'on aurait réussies. La parade principale vient de l'échec lui-même : mesurer la matière d'abord, modéliser ensuite. On caractériserait $E$ et $\mu$ de chaque matériau avant de refaire le cerveau, et on simplifierait la forme — d'un 3D qui s'effondre à quelque chose de plus plat, qui tient et se filme bien. Ensuite, à chaque problème de la diapo précédente sa parade : le bruit du suivi → film au ralenti + traitement Python ; la viscoélasticité → deux vitesses et la relaxation, dont la décroissance exponentielle donne un temps $\tau$ ; $E$ et $\mu$ → compression et chute de bille, à température contrôlée ; la rotation → mécaniser le lâcher (un axe et un angle qu'on répète à l'identique), pour comparer rotation et translation sur la même base. Et pour interpréter le tout, on se ramène à un oscillateur simple — masse, ressort, amortisseur — qui suffit à expliquer pourquoi une fréquence donnée amplifie, sans refaire les calculs des laboratoires. Transition → Voilà la démarche corrigée. Reste à dire ce qu'elle prédit — la courbe qui répond à notre question de départ.

07 Résultats attendus · 7

Notre résultat-maître : la rotation déforme plus que la translation

choc→le cerveau bouge dans sa boîte→la rotation déforme le plus→un milieu mou amplifie→danger maximal

Déformation $\gamma$ : rotation vs translation ce que prédit notre modèle

Prédiction du modèle, pas une mesure. Notre expérience n'a pas pu aboutir (le gel s'est effondré, diapo 5) : nous n'avons pas de points. Voici ce que la physique prévoit — à sévérité comparable, la rotation déforme nettement plus que la translation.

L'amplification en fréquencethéorique — modèle, non mesurée

\[A(\omega)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\left(\dfrac{c\,\omega}{m}\right)^2}}\]

Tracé de l'équation, pas une donnée. Acuité $Q=\sqrt{k\,m}/c$ : moins d'amortissement, pic plus aigu.

Ordre de grandeur⚠︎ notre estimation

$f_0=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{6000}{1{,}4}}\approx 10$ Hz, avec $k\sim 6000$ N·m⁻¹ et $m\sim 1{,}4$ kg : même ordre de grandeur que les ~30 Hz cités. Une estimation d'ordre de grandeur tirée du modèle, pas une mesure.

On referme la boucle : derrière les 1,6–3,8 M commotions/an, un même mécanisme — un cerveau mou qui tourne dans sa boîte. Seuil de lésion cité : $\varepsilon_c\approx 0{,}18$.

À dire On amène la courbe principale comme la réponse que notre modèle prédit à notre question : à mouvement égal, la rotation déforme le gel bien plus que la translation — exactement ce que pointe la littérature. On est francs : notre expérience n'a pas abouti — notre modèle de gel s'est effondré (diapo 5) et nous n'avons pas pu mesurer ni $E$, ni $\mu$, ni cette courbe. Donc cette courbe n'est pas nos données : c'est ce que la physique prédit, le tracé attendu si l'on mécanisait le lâcher et trackait la déformation. La courbe en cloche de la fréquence, pareil : le tracé de notre équation — une allure théorique, pas une mesure, et surtout pas quelque chose qu'on aurait lu dans un article. On assume cette honnêteté : « nous n'avons pas pu mesurer ; voici ce que la physique prédit, et comment on s'y prendrait. » On termine en refermant la boucle : on était partis de 1,6 à 3,8 millions de commotions par an dont on comprenait mal le mécanisme. Ce qu'on retient : un cerveau, parce qu'il est mou et confiné, se déforme surtout en rotation et amplifie certaines sollicitations — c'est ça, le danger invisible derrière le choc. Clôture (en dernier) → « Derrière ces 1,6 à 3,8 millions de commotions, il y a un même mécanisme : un cerveau mou qui tourne dans sa boîte. C'est ce qu'on a voulu mesurer. »

Matériau	Représente	On mesure
Fluide newtonien glycérine / sirop	la viscosité pure (étalon)	\(\mu\) — chute de bille (Stokes)
Fluide complexe slime	flue et résiste	viscoélasticité, \(\tau\)
Gel « cerveau » agarose / gélatine	notre cerveau modèle	\(E\) — compression · \(\mu\) — chute de bille